Pythagoras was een Griekse filosoof en in mindere mate ook een wiskundige. Hij werd in de tweede helft van de zesde eeuw voor Christus geboren op het eiland Samos, dat voor de kust van Klein-Azië in de Egeïsche Zee ligt. Hij kreeg een zeer goede opvoeding en en opleiding en kreeg lessen over filosofie, lierspel en poëzie. Als jongeman verliet hij Samos om te ontsnappen aan het tirannieke bewind van Polycrates. Pythagoras was volgens de oude bronnen de eerste die zichzelf filosoof noemde en werd door sommigen als één van de Zeven Wijzen beschouwd. Vandaag de dag kent iedereen deze Griekse filosoof door een wiskundige stelling die zijn naam draagt: de stelling van Pythagoras.
Geboorte- en Sterfdatum
Over het geboortejaar van Pythagoras bestaat heel wat onzekerheid. Wat vaststaat is dat hij ergens in de tweede helft van de zesde eeuw voor Christus moet geboren zijn. Volgens sommige bronnen werd hij geboren in de tweeënvijftigste Olympiade. Een Olympiade is de vierjarige periode tussen twee Olympische spelen in. De Olympische spelen vonden voor het eerst plaats in 776 voor Christus, dus moet volgens deze bronnen Pythagoras tussen 568 en 565 voor Christus geboren zijn.
Over het geboortejaar van Pythagoras bestaat heel wat onzekerheid. Wat vaststaat is dat hij ergens in de tweede helft van de zesde eeuw voor Christus moet geboren zijn. Volgens sommige bronnen werd hij geboren in de tweeënvijftigste Olympiade. Een Olympiade is de vierjarige periode tussen twee Olympische spelen in. De Olympische spelen vonden voor het eerst plaats in 776 voor Christus, dus moet volgens deze bronnen Pythagoras tussen 568 en 565 voor Christus geboren zijn.
Maar andere bronnen plaatsen zijn geboorte heel wat vroeger, rond het jaar 600 voor Christus. Deze bronnen beweren dat Pythagoras als twaalfjarig jongetje (in 588 v.Ch.) zich had ingeschreven voor de Olympische spelen maar geweigerd werd omwille van zijn leeftijd. Toch slaagde hij erin deel te nemen aan de bokswedstrijd door zich te vermommen en deze won hij. Op de lijsten van het jaar 588 van de overwinnaars staat inderdaad de naam Pythagoras. Of dit Pythagoras van Samos is, is natuurlijk niet zeker.
Voor zowel 568-565 als 600 (en nog een aantal andere mogelijke geboortejaren) zijn er heel wat redenen om aan te nemen dat hij in dat jaar geboren is, maar voor geen enkel jaar is er een sluitend bewijs. Het is dus duidelijk dat de controverse over zijn geboortedatum nog lang niet is opgelost en dat waarschijnlijk ook nooit zo zal zijn. Waarover de meeste bronnen het wel eens zijn is zijn geboorteplaats. Pythagoras werd geboren op Samos. Samos is een klein eiland in de Egeïsche zee, vlak voor de kust van Klein-Azië (het huidige Turkije). Ook over zijn levensduur en overlijden is geen volledige zekerheid. Volgens de meeste bronnen stierf hij in de negenenzestigste Olympiade (500-497 v.Ch.) maar ook hierover zijn de bronnen niet eenduidig. Waarover men het wel eens is, is dat hij een lang leven heeft gehad. Hij werd minstens 75 jaar, maximum 117 jaar oud.
De stelling van Pythagoras
De stelling van Pythagoras is zonder twijfel één van de meest gekende wiskundige stellingen. Deze stelling is afkomstig van de school van Pythagoras. Of ze door Pythagoras zelf gevonden is, is dus niet zeker. Volgens de legende was hij door de ontdekking van die stelling zo blij, dat hij de goden offers bracht. Toch was hij niet de eerste die deze stelling had ontdekt. De Babyloniërs kenden deze stelling al meer dan 1700 jaar.
De stelling van Pythagoras geeft het verband weer tussen de lengtes van de zijden van een rechthoekige driehoek. Een rechthoekige driehoek heeft twee rechthoekszijden en één schuine zijde of hypotenusa. Dit is dus de zijde die tegenover de rechte hoek staat. De stelling van Pythagoras luidt als volgt: "In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de lengte van de hypotenusa gelijk aan de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekszijden. "
Deze stelling is reeds op zeer veel manieren bewezen. Ik zal hieronder twee veelvoorkomende bewijzen toelichten.
In een vierkant zijn 4 congruente rechthoekige driehoeken getekend, waarvan de som van de twee rechthoekszijden gelijk is aan de lengte van één zijde van het vierkant. De zijden van het grote vierkant zijn gevormd door telkens één korte en één lange rechthoekszijde (a en b). De oppervlakte van het vierkant is dus gelijk aan (a+b)² omdat de oppervlakte van een vierkant gelijk is aan zijde maal zijde.
Maar we kunnen de oppervlakte van het grote vierkant op nog een andere manier weergeven. We kunnen de oppervlakte van de 4 rechthoekige driehoeken en de oppervlakte van het kleinere vierkant berekenen. De formule voor de oppervlakte van een driehoek is: (b x h)/2 met b is de basis en h de hoogte . De oppervlakte van het grote vierkant is dus:
(4ab)/2 + c = (a+b)² ( (a + b)² is een merkwaardig product en is gelijk aan a² + 2ab +b²)
2ab + c² = a²+ 2ab+ b² (beide leden - 2ab)
c² = a² + b²
Een tweede bewijs maakt gebruik van eigenschappen die waarschijnlijk door leerlingen van Pythagoras zijn ontdekt en bewezen. Pythagoras zou de tweede eigenschap dan hebben gebruikt om zijn stelling te ontdekken.
Eigenschap 1: Eerst gaan we bewijzen dat de driehoek ACD gelijkvormig is met de grote driehoek BCD. Om dit te bewijzen moeten we 2 overeenkomstige hoeken vinden die gelijk zijn.
1. D = D = 90°
2. C = B
Want C + A = 90° en C + B = 90°
De 2 driehoeken zijn dus gelijkvormig, daarom zijn de zijden evenredig.
Dat wil zeggen dat, als we de overeenkomstige zijden (dit zijn dus AD en AC, BC en CD, AC en AB) van de 2 driehoeken door elkaar delen, we telkens een zelfde getal uitkomen, namelijk de gelijkvormigheidsfactor: CD/BC = AD/CD = CD² = AD x BD
In woorden betekent dit dus: In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hoogte op de schuine zijde gelijk aan het product van de loodrechte projecties van de rechthoekzijden op de schuine zijde.
Eigenschap 2: Voor deze eigenschap moeten we bewijzen dat de grote driehoek ABC gelijkvorming is met de kleine driehoek ACD en BDC.
- 1. ABC is gelijkvormig met ACD want: D = C = 90°
- A = A (gemeenschappelijke hoek)
- 2. ABC is gelijkvormig met BDC want: D = D = 90°
- B = B (gemeenschappelijke hoek) Dus is AC/AD = AB/AC = AC² = AD x DB AB/CB = BC/BD = BC² = AB x DB
Dit betekent dat: In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van een rechthoekzijde gelijk aan het product van de schuine zijde met de loodrechte projectie van die rechthoekzijde op de schuine zijde.
Als we de twee laatste formules met elkaar optellen bekomen we:
AC² = AD x AB
BC² = BD x AB
--------------------
AC² + BC² = (AD x AB) + (AB x BD)
= AB x (AD + BD)
= AB x AB
b² + a² = c²
Irrationale getallen
Irrationale getallen zijn getallen die niet kunnen geschreven worden als het quotiënt van twee gehele getallen. Vermits Pythagoras geloofde dat alles was opgebouwd uit de verhouding van getallen, bestonden er volgens zijn geloof geen irrationale getallen. Maar langzamerhand ontdekte hij dat dit niet waar kon zijn en dat er iets scheelde met hun rechthoekige driehoek. Wanneer de twee rechthoekszijden even lang zijn kunnen we het verband tussen de lengte van de rechthoekszijden en de lengte van de schuine zijde als volgt uitdrukken:
a² + b² = c²
a = b
2a² = c²
a² = c² / 2
a = c / √2
Het probleem is hier √2. De Pythagoreeërs slaagden erin te bewijzen dat √2 een irrationaal getal is. Dit deden ze door aan te nemen dat √2 wel een rationaal getal is. Dan gingen ze na wat de gevolgen hiervan waren. In die gevolgen konden ze een tegenstrijdigheid aantonen waardoor men kon bewijzen dat er geen twee gehele getallen bestaan waarvan het quotiënt √ is.
√2 = a/b (omdat &sqrt;2 een rationaal getal is zijn er twee getallen a en b waarvan het quotiënt hieraan gelijk moet zijn. a/b moet in zijn eenvoudigste vorm geschreven worden zodat de breuk niet meer te vereenvoudigen is zodat de grootste gemene deler gelijk is aan 1)
b√2 = a (beide leden van de gelijkheid kwadrateren)
2b² = a²
Dus a² moet even zijn omdat een getal vermenigvuldigd met twee altijd even is. Ook a is even omdat het kwadraat van een oneven getal steeds oneven is. Is het kwadraat even dan is het grondtal dus ook even. Nu stellen we a gelijk aan 2p, omdat 2p ook even is.
2b² = a² = (2p)² = 4p²
b² = 2p² (beide leden van de gelijkheid delen door 2)
Hieruit volgt dat b en b² even getallen moeten zijn om dezelfde reden als a en a². Nu weten we dus dat zowel a als b even zijn. Dit betekent dat in de breuk a/b teller en noemer door twee kunnen gedeeld worden en (minstens) 2 de grootste gemene deler is. Vermits a/b onmogelijk tegelijk 1 én 2 als grootste gemene deler kan hebben zijn er geen enkele twee getallen a en b waarvan het quotiënt gelijk is aan √2. Dit wil dus zeggen dat &sqrt;2 een irrationaal getal is.
Omdat volgens het geloof van de Pythagoreeërs alles bestond uit verhoudingen van getallen paste dit bewijs allerminst in hun geloof, hoewel dit een zeer grote vooruitgang was voor de wiskunde. Dus moest iedereen die iets afwist van deze doorbraak zweren het niet verder te vertellen. Indien iemand dit toch deed werd hij tijdens een reis op de Middellandse Zee overboord gegooid. Dit probleem zou de oorzaak kunnen zijn geweest van de ontbinding van de broederschap. Een ander gevolg hiervan is dat men zich vanaf dan vooral ging bezighouden met de meetkunde en de algebra wat op de achtergrond verdween. Dit bleef zo tot in de 17e eeuw toen de Franse wiskundige en filosoof René Descartes ervoor zorgde dat de algebra weer de bovenhand nam.
